Леонід Клешко народився в с. Курилівка Вінницької області. Проживав у с. Порик Хмільницького району Вінницької області. Навчався в Порицькій загальноосвітній школі. Згодом закінчив Барський автомобільно-дорожній технікум, де здобув фах техніка-механіка. У 2009 році здобув вищу освіту в Харківській національній академії міського господарства за фахом інженер-електромеханік.

У 2004 – 2015 рр. служив в органах внутрішніх справ, працював у Національній поліції. З 2018-го обіймав посаду начальника вимірювальної діагностичної лабораторії ТОВ «Західстандарт Система».
Мешкав з родиною в м. Бориспіль Київської області. Захоплювався будівництвом. Зводив будинок для себе і сім'ї, весь вільний час приділяв цьому. Любив природу і тварин, а також займатися ремонтом автомобілів.

Коли почалася повномасштабна війна Леонід сказав, що не може просто сидіти і дивитися, що повинен захищати своїх рідних. 25 лютого став на захист України у лавах 110-ї окремої механізованої бригади. Був командиром відділення взводу радіаційної, хімічної і біологічної розвідки.
Під час виконання бойового завдання потрапив під ворожий мінометний обстріл. Загинув 29 квітня 2022 року між селами Новоселівка Друга і Василівка Донецької області. Родина втратила люблячого сина, коханого чоловіка, турботливого батька двох дітей.

«Леонід був чудовим чоловіком та батьком двох дітей. Ми дуже сильно любили один одного. Разом прожили у шлюбі 15 прекрасних щасливих років, у коханні і взаєморозумінні. У нас народилося двоє чудових коханих дітей: Таня і Назар. Ми разом їх виховували у любові, допомагали і підтримували один одного. Він був міцною опорою і підтримкою для мене. Був дуже добрим, чуйним, веселим, готовим прийти на допомогу кожному, хто звертався до нього. Дуже любив життя, мав великі плани на майбутнє» – розповіла дружина захисника Ольга.

Поховано Героя на малій батьківщині в с. Курилівка Хмільницького району Вінницької області.

Не дочекалися з війни свого захисника мама Людмила Станіславівна, сестра Зоя, дружина Ольга, донька Тетяна і син Назар.